Table of Contents

Preface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi

1 Concepts from Vibrations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

    1. Newton's Laws. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
    2. Moment of a Force and Angular Momentum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
    3. Work and Energy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
    4. Dynamics of Systems of Particles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
    5. Dynamics of Rigid Bodies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
      1. Pure translation relative to the inertial space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
      2. Pure rotation about a fixed point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
      3. General planar motion referred to the mass center. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
    6. Kinetic Energy of Rigid Bodies in Planar Motion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
      1. Pure translation relative to the inertial space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
      2. Pure rotation about a fixed point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
      3. General planar motion referred to the mass center. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
    7. Characteristics of Discrete System Components. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
    8. Equivalent Springs, Dampers and Masses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
    9. Modeling of Mechanical Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
    10. System Differential Equations of Motion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
    11. Nature of Excitations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
    12. System and Response Characteristics. The Superposition Principle. . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
    13. Vibration About Equilibrium Points. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
    14. Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
      15.

Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50
  1. Response of Single-Degree-of Freedom Systems to Initial Excitations. . . . . . . . . .53
    1. Undamped Single-Degree-of-Freedom Systems. Harmonic Oscillator. . . . . . . . . . . . . . . . .54
    2. Viscously Damped Single-Degree-of-Freedom Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
    3. Measurement of Damping. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
    4. Coulomb Damping. Dry Friction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
    5. Plotting the Response to Initial Excitations by MATLAB. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
    6. Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3. Response of Single-Degree-of-Freedom Systems to Harmonic and Periodic Excitations. . . . . . . . . 73

3.1 Response of Single-Degree-of-Freedom Systems to Harmonic Excitations. . . . . . . . . . . . . . 74

3.2 Frequency Response Plots. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78

3.3 Systems with Rotating Unbalanced Masses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.4 Whirling of Rotating Shifts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

3.5 Harmonic Motion of the Base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

3.6 Vibration Isolation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88

3.7 Vibration Measuring Instruments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

      1. Accelerometers - high frequency instruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90
      2. Seismometers - low frequency instruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91
    1. Energy Dissipation. Structural Damping. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
    2. Response to Periodic Excitations. Fourier Series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .96
    3. Frequency Response Plots by MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .101
    4. Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103

4. Response of Single-Degree-of-Freedom Systems to Nonperiodic Excitations. . . .106

4.1 The Unit Impulse. Impulse Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 107

4.2 The Unit Step Function. Step Response. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.3 The Unit Ramp Function. Ramp Response. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112

4.4 Response to Arbitrary Excitations. The Convolution Integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.5 Shock Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.6 System Response by the Laplace Transformation Method. Transfer Function. . . . . . . . . . . .121

    1. General Response System. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
    2. Response by the State Transition Matrix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129
    3. Discrete-time Systems. The Convolution Sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131
    4. Discrete-time Response Using the Transition Matrix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138
    5. Response by the Convolution Sum Using MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
    6. Response by the Discrete-time Transition Matrix Using MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . .142

4.13 Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144

5. Two Degree-of-Freedom Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147

5.1 System Configuration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.2 The Equations of Motion of Two-Degree-of-Freedom Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149

5.3 Free Vibration of Undamped Systems. Natural Modes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152

5.4 Response to Initial Excitations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.5 Coordinate Transformations. Coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.6 Orthogonality of Modes. Natural Coordinates. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .165

5.7 Beat Phenomenon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.8 Response to a Two-Degree-of-Freedom System to Harmonic Excitation. . . . . . . . . . . . . . . 172

    1. Undamped Vibration Absorbers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
    2. Response of Two-Degree-of-Freedom System to Nonperiodic Excitation . . . . . . . .. . . . . 176
    3. Response to Nonperiodic Excitations by the Convolution Sum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
    4. Response to Initial Excitations by MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

5.13 Frequency Response Plots for Two-Degree-of-Freedom Systems by MATLAB . . . . . . . . 184

5.14 Response to a Rectangular Pulse by the Convolution Sum Using MATLAB . . . . . . . . . . .185

5.15 Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187

6. Elements of Analytical Dynamics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189

6.1 Degrees of Freedom and Generalization Coordinate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6.2 The Principle of Virtual Work. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191

6.3 The Principle of D'Alembert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194

6.4 The Extended Hamilton's Principle. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

6.5 Lagrange's Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

6.6 Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203

Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .203

7. Multi-Degree-of-Freedom Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .205

7.1 Equations of Motion for Linear Systems. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

7.2 Flexibility and Stiffness Influence Coefficients. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209

7.3 Properties of the Stiffness and Mass Coefficients. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

7.4 Lagrange's Equations Linearized About Equilibrium.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

7.5 Linear Transformations. Coupling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

7.6 Undamped Free Vibration. The Eigenvalue Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .223

7.7 Orthogonality of Modal Vectors.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

7.8 System Admitting Rigid-Body Motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

    1. Decomposition of the Response in Terms of Modal Vectors. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 237
    2. Response to Initial Excitations by Modal Analysis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .239
    3. Eigenvalue Problem in Terms of Single Symmetric Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .242
    4. Geometric Interpretation of the Eigenvalue Problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
    5. Rayleigh's Quotient and Its Properties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
    6. Response to Harmonic External Excitations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .254
    7. Response to External Excitations by Modal Analysis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .255
      1. Undamped systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
      2. Systems with proportional damping. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
    8. Systems with Arbitrary Viscous Damping. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
    9. Discrete-Time Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272
    10. Solution of the Eigenvalue Problem. MATLAB Programs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
    11. Response to Initial Excitations by Modal Analysis using MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . .278
    12. Response by the Discrete-time Transition Matrix Using MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . .279
    13. Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .282

 

8. Distributed-Parameter Systems: Exact Solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .287

8.1 Relations between Discrete and Distributed Systems.

Transverse Vibration of Strings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

8.2 Derivation of the String Vibration Problem by the Extended Hamilton Principle . . . . . . . .292

8.3 Bending Vibration of Beams. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

8.4 Free Vibration. The Differential Eigenvalue Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

8.5 Orthogonality of Modes. Expansion Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

8.6 Systems with Lumped Masses at the Boundaries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .315

8.7 Eigenvalue Problem and Expansion Theorem for Problems with

Lumped Masses at the Boundaries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

8.8 Rayleigh's Quotient. The Variational Approach to the Differential Eigenvalue Problem. . .328

8.9 Response to Initial Excitations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

8.10 Response to External Excitations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

8.11 Systems with External Forces at Boundaries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .346

8.12 The Wave Equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

8.13 Traveling Waves in Rods of Finite Length. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

8.14 Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

 

9. Distributed-Parameter Systems: Approximate Methods. . . . . . . . . . . . . . . . . .362

9.1 Discretization of Distributed-Parameter Systems by Lumping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

9.2 Lumped-Parameter Method Using Influence Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .365

9.3 Hozler's Method for Torsional Vibration. . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

9.4 Myklestad's Method for Bending Vibration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

9.5 Rayleigh's Principle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

9.6 The Rayleigh-Ritz Method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .391

9.7 An Enhanced Rayleigh-Ritz Method. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

9.8 The Assumed-Modes Method. System Response. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 411

9.9 The Galerkin Method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 416

9.10 The Collocation Method. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

9.11 The MATLAB Program for the Solution of the Eigenvalue Problem

by the Rayleigh-Ritz Method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

9.12 Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

 

10. The Finite Element Method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .435

10.1 The Finite Element Method as Rayleigh-Ritz Method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .436

10.2 Strings, Rods and Shafts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .439

10.3 Higher-Degree Interpolation Functions. . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

10.4 Beams in Bending Vibration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

10.5 Errors in Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .463

10.6 Finite Element Modeling of Trusses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .465

10.7 Finite Element Modeling of Frames. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

10.8 System Response by the Finite Element Method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .485

10.9 MATLAB Program for the Solution of the Eigenvalue Problem

by the Finite Element Method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489

10.10 Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .492

Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .493

 

11. Nonlinear Oscillations10. The Finite Element Method. . . . . . . . . . . . . . . . .. . .495

11.1 Fundamental Concepts in Stability. Equilibrium Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .496

11.2 Small Motions of Single-Degree-of-Freedom Systems from Equilibrium . . . . . . . . . . . . .505

11.3 Conservative Systems. Motions in the Large. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512

11.4 Limit Cycles. The Van der Pol Oscillator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515

11.5 The Fundamental Perturbation Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .517

11.6 Secular Terms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .520

11.7 Lindstedt's Method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523

11.8 Forced Oscillation of Quasi-Harmonic System. Jump Phenomenon. . . . . . . . . . .. 527

11.9 Subharmonics and Combination Harmonics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 532

11.10 Systems with Time-Dependent Coefficients. Mathieu's Equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536

11.11 Numerical Integration of the Equations of Motion. The Runge-Kutta Method. . . . . . . . . 540

11.12 Trajectories for the Van der Pol Oscillator by MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .547

11.13 Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .548

Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .550

 

12. Random Vibrations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .553

12.1 Ensemble Averages. Stationary Random Processes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .554

12.2 Time Averages. Ergodic Random Processes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .555

12.3 Mean Square Values and Standard Deviation. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .557

12.4 Probability Density Functions. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558

12.5 Description of Random Data in Terms of Probability Density Functions. . . . . . . . . . . . . 561

12.6 Properties of Autocorrelation Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .563

12.7 Response of Random Excitations. Fourier Transforms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564

12.8 Power Spectral Density Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568

12.9 Narrowband and Wideband Random Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570

12.10 Response of Linear Systems to Stationary Random Excitations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575

12.11 Response of Single-Degree-of-Freedom Systems to Random Excitations. . . . . . . . . . . . .579

12.12 Joint Probability Distribution of Two Random Processes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

12.13 Joint Properties of Stationary Random Processes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .585

12.14 Joint Properties of Ergodic Random Processes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .588

12.15 Response Cross-Correlation Functions for Linear Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .590

12.16 Response of Multi-Degree-of-Freedom Systems to Random Excitations. . . . . . . . . . . . . 592

12.17 Response of Distributed-Parameter Systems to Random Excitations. . . . . . . . . . . . . . . . .598

12.18 Summary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .600

Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .602

Appendix A. Fourier Series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .604

A.1 Orthogonal Sets of Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .604

A.2 Trigonometric Series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606

A.3 Complex Form of Fourier Series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .608

Appendix B. Laplace Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .610

B.1 Definition of the Laplace Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610

B.2 Transformation of Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611

B.3 Transformation of Ordinary Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .611

B.4 The Inverse Laplace Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612

B.5 Shifting Theorems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612

B.6 Method of Partial Fractions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613

B.7 The Convolution Integral. Borel's Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .616

B.8 Table of Laplace Transform Pairs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618

Appendix C. Linear Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .619

C.1 Matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619

C.1.1 Definitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619

C.1.2 Matrix Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621

C.1.3 Determinant of a square matrix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623

C.1.4 Inverse of a matrix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625

C.1.5 Transpose, inverse and determinant of a product of matrices. . . . . . . . . . . . . . . 626

C.1.6 Partitioned matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627

C.2 Vector Spaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .628

C.2.1 Definitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628

C.2.2 Linear Dependence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .629

C.2.3 Bases and dimension of vector spaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629

C.3 Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .630

C.3.1 The concept of linear transformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630

C.3.2 Solution of algebraic equations. Matrix inversion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632

Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .639

 

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .640

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